Jeffrey Cross
Jeffrey Cross

Le lundi des maths: Les liens - The Straight Dope

Pour le musée de mathématiques

Et voici encore un épisode de notre épique série Math Mondays sur le monde complexe des liaisons mécaniques. Voir l'introduction de la série Linkages pour le kit de liaison MoMath, une introduction et des instructions générales.

OK, le suspense autour de l'existence (non?) D'un lien linéaire s'est construit assez longtemps. Allons droit au but:

Liens de Peaucellier Ingrédients: Six 24 barres (A, B, C, D, F et H), deux 60 barres (B et D) et un stylo.

Directions: Fixez A horizontalement. Reliez une extrémité de A à B. Reliez l'extrémité de B à C et D. Reliez l'extrémité de C à E et F. Reliez l'extrémité de D à G et H. Reliez les extrémités de F et H avec un stylo. Reliez les extrémités éloignées de E et G à l’autre extrémité de A.

Pour l'utiliser: faites pivoter B de haut en bas aussi loin que possible, en maintenant le stylo dans le trou correspondant au dessin sur le papier.

Et voici les photos:

Est-ce que… est-ce que ça pourrait être… est-ce que cette ligne que le lien de Peaucellier dessine est honnête? En fait, c’est la raison qui introduit des mathématiques plutôt cools: la théorie de «l’inversion dans un cercle». L’inversion dans un cercle est une opération géométrique qui réorganise un plan de la manière suivante: un point situé à une distance d Le point (appelé centre d'inversion) est déplacé dans le même sens que le centre d'inversion, mais à une distance de 1 / d. C’est tout ce qu’il ya à faire, mais l’inversion dans un cercle a un certain nombre de propriétés intéressantes et utiles: elle préserve les angles et toute courbe qui est un cercle ou une droite est transformée en une autre courbe qui est aussi un cercle ou une droite. ligne. En particulier, tout cercle passant par le centre d'inversion se transforme en une ligne droite qui ne passe pas par le centre d'inversion. Et c’est exactement ce dont Peaucellier avait besoin: son lien est essentiellement un mécanisme permettant d’inverser un cercle, connecté au tout premier lien, le plus simple que cette série ait évoqué: un compas pour tracer le cercle. Dans ce cas, le centre d'inversion se situe à l'extrémité distante de A et la barre B décrit un cercle passant par ce centre d'inversion.

Il est également intéressant de noter qu’un étudiant de Chebyshev, pris dans la croisade de son conseiller pour trouver une liaison linéaire, a découvert de manière indépendante le lien de Peaucellier environ sept ans plus tard. C’était une idée dont le moment était venu, malgré le fait qu’en pratique, avec autant de joints, il est difficile de créer un lien de Peaucellier qui produit un mouvement rectiligne extrêmement précis - il y a presque toujours un tout petit jeu dans chaque joint, et cela s’ajoute .

Pratiquement toutes les idées valables peuvent être affinées, et ce lien ne fait pas exception. Voici un lien avec beaucoup moins d’articulations et un mouvement très intéressant. Notez que pour autant que je sache, il n’ya aucun lien entre cet auteur et l’ancien auteur de Math Mondays.

Hart A-Frame Ingredients: Un bar de 60 bars (A), deux de 60 barres avec des trous à 45 (B et C), trois de 30 barres (D, E et F) et un stylo.

Directions: Fixez A horizontalement. Reliez chaque extrémité de A à 60 barres avec un trou à 45 (B et C). B à C0; reliez C30 à D et D à l'extrémité droite de A. Mettez un stylo en C60. Reliez B45 à D et B60 à E. Reliez l'autre extrémité de D à C45. Reliez C60 à F et reliez les extrémités libres de E et F avec un stylo.

Pour l’utiliser: faites pivoter B aussi loin que possible à gauche et à droite, en maintenant le stylo dans le trou sur le papier.

Pouvez-vous comprendre pourquoi le cadre A Hart dessine théoriquement une ligne parfaitement droite?

Plus:

  • Liens, introduction
  • Liens, partie 2: quatre barres, une liberté
  • Liens, partie 3: quatre barres, deux ou trois positions
  • Liaisons, partie 4: quatre barres, quatre positions
  • Liens, Partie 5: Quatre barres, plus de positions?
  • Liens, partie 6: biomimétisme
  • Liens, Partie 7: Le monde "B.X."
  • Liens, partie 8: à la recherche de la rectitude
  • Liaisons, partie 9: allons droit au but
  • Voir toutes nos colonnes du lundi des maths

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